Qu'est-ce que lemme d'euclide ?

Le lemme d'Euclide, également connu sous le nom de lemme fondamental de la théorie des nombres, est un résultat clé dans les mathématiques qui est souvent utilisé dans la preuve du théorème de l'arithmétique fondamentale.

Le lemme d'Euclide énonce que si un nombre premier divise le produit de deux nombres entiers, alors il divise au moins l'un des deux nombres. Autrement dit, si p est un nombre premier, et si p divise le produit ab de deux entiers a et b, alors p divise au moins l'un d'entre eux.

Ce résultat peut sembler intuitif, mais il est en fait assez puissant et peut être utilisé pour résoudre de nombreux problèmes en théorie des nombres. Par exemple, le lemme d'Euclide peut être utilisé pour prouver que tout nombre entier peut être décomposé de manière unique en produit de nombres premiers. Cela est connu comme le théorème de l'arithmétique fondamentale.

La preuve du lemme d'Euclide est basée sur le raisonnement par l'absurde. Supposons que p divise le produit ab sans diviser ni a ni b. Alors, p et a sont premiers entre eux (car sinon p diviserait a) et p divise ab (car p divise ab). Mais cela contredit le fait que p est premier, ce qui prouve que p doit diviser soit a, soit b.

En pratique, le lemme d'Euclide est souvent utilisé comme une étape intermédiaire dans des preuves plus complexes. Par exemple, il peut être utilisé pour prouver le théorème de Bezout, qui dit que pour chaque paire d'entiers a et b, il existe des entiers x et y tels que ax + by = pgcd(a, b), où pgcd désigne le plus grand commun diviseur.

En résumé, le lemme d'Euclide est un résultat fondamental en théorie des nombres, qui énonce que si un nombre premier divise le produit de deux nombres entiers, alors il divise au moins l'un des deux nombres. Il est souvent utilisé comme une étape clé dans des preuves plus complexes en théorie des nombres.